#3212. 「CSP-S 2019」划分

内存限制:1024 MiB 时间限制:2000 ms 输入文件:partition.in 输出文件:partition.out
题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: 匿名

题目描述

2048 年,第三十届 CSP 认证的考场上,作为选手的小明打开了第一题。这个题的样例有 n 组数据,数据从 1 \sim n 编号, i 号数据的规模为 a_i

小明对该题设计出了一个暴力程序,对于一组规模为 u 的数据,该程序的运行时间 u^2 。然而这个程序运行完一组规模为 u 的数据之后,它将在任何一组规模小于 u 的数据上运行错误。样例中的 a_i 不一定递增,但小明又想在不修改程序的情况下正确运行样例,于是小明决定使用一种非常原始的解决方案:将所有数据划分成若干个数据段,段内数据编号连续,接着将同一段内的数据合并成新数据,其规模等于段内原数据的规模之和,小明将让新数据的规模能够递增。

也就是说,小明需要找到一些分界点 1 \le k_1 < k_2 < \cdots < k_p < n ,使得:

\sum_{i=1}^{k_1} a_i\le \sum_{i=k_1+1}^{k_2} a_i \le \dots \le \sum_{i=k_p+1}^n a_i

注意 p 可以为 0 且此时 k_0 = 0 ,也就是小明可以将所有数据合并在一起运行。

小明希望他的程序在正确运行样例情况下,运行时间也能尽量小,也就是最小化

\left(\sum_{i=1}^{k_1} a_i \right)^2+\left(\sum_{i=k_1}^{k_2} a_i \right)^2+\cdots +\left(\sum_{i=k_p+1}^n a_i \right)^2

小明觉得这个问题非常有趣,并向你请教:给定 n a_i ,请你求出最优划分方案下,小明的程序的最小运行时间。

输入格式

从文件 partition.in 中读入数据。

由于本题的数据范围较大,部分测试点的 a_i 将在程序内生成

第一行两个整数 n, \text{type} n 的意义见题目描述, \text{type} 表示输入方式。

  1. \text{type} = 0 ,则该测试点的 a_i 直接给出。输入文件接下来:第二行 n 个以空格分隔的整数 a_i ,表示每组数据的规模。
  2. \text{type} = 1 ,则该测试点的 a_i 特殊生成,生成方式见后文。输入文件接下来:第二行六个以空格分隔的整数 x, y, z, b_1, b_2, m 。接下来 m 行中,第 i 1 \le i \le m )行包含三个以空格分隔的正整数 p_i, l_i, r_i

对于 \text{type} = 1 23 \sim 25 号测试点, a_i 的生成方式如下:

  • 给定整数 x, y, z, b_1, b_2, m ,以及 m 个三元组 (p_i, l_i, r_i)
  • 保证 n \ge 2 。若 n > 2 ,则 \forall 3\le i\le n b_i = (x \times b_{i−1} + y \times b_{i−2} + z) \bmod 2^{30}
  • 保证 1 \le p_i \le n p_m = n 。令 p_0 = 0 ,则 p_i 还满足 \forall 0 \le i < m p_i < p_{i+1}
  • 对于所有 1 \le j \le m ,若下标值 i 1 \le i \le n )满足 p_{j−1} < i \le p_j ,则有

a_i=\left( b_i \bmod (r_j-l_j+1) \right) +l_j

上述数据生成方式仅是为了减少输入量大小,标准算法不依赖于该生成方式

输出格式

输出到文件 partition.out 中。

输出一行一个整数,表示答案。

样例

样例输入 1

5 0
5 1 7 9 9

样例输出 1

247

样例说明 1

最优的划分方案为 \{5,1\},\{7\},\{9\},\{9\} 。由 5 + 1 \le 7 \le 9 \le 9 知该方案合法。

答案为 (5 + 1)^2 + 7^2 + 9^2 + 9^2 = 247

虽然划分方案 \{5\},\{1\},\{7\},\{9\},\{9\} 对应的运行时间比 247 小,但它不是一组合法方案,因为 5 > 1

虽然划分方案 \{5\},\{1,7\},\{9\},\{9\} 合法,但该方案对应的运行时间为 251 ,比 247 大。

样例输入 2

10 0
5 6 7 7 4 6 2 13 19 9

样例输出 2

1256

样例说明 2

最优的划分方案为 \{5\},\{6\},\{7\},\{7\},\{4,6,2\},\{13\},\{19,9\}

样例输入 3

10000000 1
123 456 789 12345 6789 3
2000000 123456789 987654321
7000000 234567891 876543219
10000000 456789123 567891234

样例输出 3

4972194419293431240859891640

样例 4 / 5

见附加文件 partition4/5.in/ans

数据范围与提示

测试点编号 n\le a_i\le \text{type}=
1\sim 3 10 10 0
4\sim 6 50 10^3
7\sim 9 400 10^4
10\sim 16 5\times 10^3 10^5
17\sim 22 5\times 10^5 10^6
23\sim 25 4\times 10^7 10^9 1

对于 \text{type} = 0 的测试点,保证答案不超过 4\times 10^{18}

所有测试点满足: \text{type} \in \{0, 1\} , 2 \le n \le 4 \times 10^7 , 1 \le a_i \le 10^9 , 1 \le m \le 10^5 ,1 \le l_i \le r_i \le 10^9 , 0 \le x, y, z, b_1, b_2 < 2^{30}