#3208. 「CSP-S 2019」格雷码

内存限制:256 MiB 时间限制:1000 ms 输入文件:code.in 输出文件:code.out
题目类型:传统 评测方式:文本比较
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题目描述

通常,人们习惯将所有 n 位二进制串按照字典序排列,例如所有 2 位二进制串按字典序从小到大排列为: 00 01 10 11

格雷码(Gray Code)是一种特殊的 n 位二进制串排列法,它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同,特别地,第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有 2 位二进制串按格雷码排列的一个例子为: 00 01 11 10

n 位格雷码不止一种,下面给出其中一种格雷码的生成算法:

  1. 1 位格雷码由两个 1 位二进制串组成,顺序为: 0 1
  2. n + 1 位格雷码的前 2^n 个二进制串,可以由依此算法生成的 n 位格雷码(总共 2^n n 位二进制串)按顺序排列,再在每个串前加一个前缀 0 构成。
  3. n + 1 位格雷码的后 2^n 个二进制串,可以由依此算法生成的 n 位格雷码(总共 2^n n 位二进制串)按逆序排列,再在每个串前加一个前缀 1 构成。

综上, n + 1 位格雷码,由 n 位格雷码的 2^n 个二进制串按顺序排列再加前缀 0 ,和按逆序排列再加前缀 1 构成,共 2^{n+1} 个二进制串。另外,对于 n 位格雷码中的 2^n 个二进制串,我们按上述算法得到的排列顺序将它们从 0 \sim 2^n - 1 编号。

按该算法, 2 位格雷码可以这样推出:

  1. 已知 1 位格雷码为 0 1
  2. 前两个格雷码为 00 01 。后两个格雷码为 11 10 。合并得到 00 01 11 10 ,编号依次为 0 \sim 3

同理, 3 位格雷码可以这样推出:

  1. 已知 2 位格雷码为: 00 01 11 10
  2. 前四个格雷码为: 000 001 011 010 。后四个格雷码为: 110 111 101 100 。合并得到: 000 001 011 010 110 111 101 100 ,编号依次为 0 \sim 7

现在给出 n, k ,请你求出按上述算法生成的 n 位格雷码中的 k 号二进制串。

输入格式

从文件 code.in 中读入数据。

仅一行两个整数 n, k ,意义见题目描述。

输出格式

输出到文件 code.out 中。

仅一行一个 n 位二进制串表示答案。

样例

样例输入 1

2 3

样例输出 1

10

样例说明 1

2 位格雷码为: 00 01 11 10 ,编号从 0 \sim 3 ,因此 3 号串是 10

样例输入 2

3 5

样例输出 2

111

样例说明 2

3 位格雷码为: 000 001 011 010 110 111 101 100 ,编号从 0 \sim 7 ,因此 5 号串是 111

样例 3

详见附加文件 code3.in/ans

数据范围与提示

对于 50\% 的数据: n \le 10

对于 80\% 的数据: k \le 5 \times 10^6

对于 95\% 的数据: k \le 2^{63} − 1

对于 100\% 的数据: 1 \le n \le 64 , 0 \le k < 2^n