#2954. 「NOIP2018」填数游戏

内存限制:512 MiB 时间限制:1000 ms 输入文件:game.in 输出文件:game.out
题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: HeRaNO

题目描述

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个 n\times m 的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字 0 或者数字 1 ),填数时需要满足一些限制。下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述,我们先给出一些定义:

  • 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即 (x,y) ,其中, x 为行坐标, y 为列坐标。(注意:行列坐标均从 0 开始编号);
  • 合法路径 P :一条路径是合法的当且仅当:
    1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子 (0,0) 出发,到矩形的右下角格子 (n-1,m-1) 结束;
    2. 在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。

例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是 P_1:(0,0)\to (0,1)\to (1,1), \ P_2:(0,0)\to (1,0)\to (1,1)

game.png

对于一条合法的路径 P ,我们可以用一个字符串 w(P) 来表示,该字符串的长度为 n+m-2 ,其中只包含字符 R 或者字符 D,第 i 个字符记录了路径 P 中第 i 步的移动方法,R 表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,D 表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径 P_1 ,有 w(P_1)=\texttt{RD} ;而对于另一条路径 P_2 ,有 w(P_2)=\texttt{DR}

同时,将每条合法路径 P 经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为 n+m-1 01 字符串,记为 s(P) 。例如,如果我们在格子 (0,0) (1,0) 上填入数字 0 ,在格子 (0,1) (1,1) 上填入数字 1 (见上图红色数字)。那么对于路径 P_1 ,我们可以得到 s(P_1)=\texttt{011} ,对于路径 P_2 ,有 s(P_2)=\texttt{001}

游戏要求小 D 找到一种填数字 0,1 的方法,使得对于两条路径 P_1,P_2 ,如果 w(P_1)\gt w(P_2) ,那么必须 s(P_1)\le s(P_2) 。我们说字符串 a 比字符串 b 小,当且仅当字符串 a 的字典序小于字符串 b 的字典序,字典序的定义详见第 1 题。但是仅仅是找 1 种方法无法满足小 D 的好奇心,小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满组游戏的要求?

小 D 能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填 0,1 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对 10^9+7 取模的结果。

输入格式

输入文件名为 game.in
输入文件共一行,包含两个正整数 n,m ,由一个空格分隔,表示矩形的大小。其中 n 表示矩形表格的行数, m 表示矩形表格的列数。

输出格式

输出文件名为 game.out
输出共一行,包含一个正整数,表示有多少种填 0,1 的方法能满足游戏的要求。

注意:输出答案对 10^9+7 取模的结果。

样例

样例输入 1

2 2

样例输出 1

12

样例说明 1

game2.png

对于 2\times 2 棋盘,有上图所示的 12 种填数方法满足要求。

样例输入 2

3 3

样例输出 2

112

样例输入 3

5 5

样例输出 3

7136

数据范围与提示

测试点编号 n\le m\le
1\sim 4 3
5\sim 10 2 10^6
11\sim 13 3
14\sim 16 8 8
17\sim 20 10^6