#2719. 「NOI2018」冒泡排序

内存限制:512 MiB 时间限制:1000 ms 输入文件:inverse.in 输出文件:inverse.out
题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: cyand1317

题目描述

最近,小 S 对冒泡排序产生了浓厚的兴趣。为了问题简单,小 S 只研究对 1 n 的排列的冒泡排序。

下面是对冒泡排序的算法描述。

输入:一个长度为 n 的排列 p[1...n]
输出:p 排序后的结果。
for i = 1 to n do
	for j = 1 to n - 1 do
		if(p[j] > p[j + 1])
			交换 p[j] 与 p[j + 1] 的值

冒泡排序的交换次数被定义为交换过程的执行次数。可以证明交换次数的一个下界是 \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert ,其中 p_i 是排列 p 中第 i 个位置的数字。如果你对证明感兴趣,可以看提示。

小 S 开始专注于研究长度为 n 的排列中,满足交换次数 = \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert 的排列(在后文中,为了方便,我们把所有这样的排列叫「好」的排列)。他进一步想,这样的排列到底多不多?它们分布的密不密集?

小 S 想要对于一个给定的长度为 n 的排列 q ,计算字典序严格大于 q 的“好”的排列个数。但是他不会做,于是求助于你,希望你帮他解决这个问题,考虑到答案可能会很大,因此只需输出答案对 998244353 取模的结果。

输入格式

从文件 inverse.in 读入数据。

输入第一行包含一个正整数 T ,表示数据组数。

对于每组数据,第一行有一个正整数 n ,保证 n \leq 6 \times 10^5

接下来一行会输入 n 个正整数,对应于题目描述中的 q_i ,保证输入的是一个 1 n 的排列。

输出格式

输出到文件 inverse.out 中。

输出共 T 行,每行一个整数。

对于每组数据,输出一个整数,表示字典序严格大于 q 的「好」的排列个数对 998244353 取模的结果。

样例

样例输入 1

1
3
1 3 2

样例输出 1

3

样例解释 1

字典序比 1 \ 3 \ 2 大的排列中,除了 3 \ 2 \ 1 以外都是「好」的排列,故答案为 3

样例输入 2

1
4
1 4 2 3

样例输出 2

9

样例 3

见附加文件中的 inverse3.ininverse3.ans.

数据范围与提示

下面是对本题每个测试点的输入规模的说明。

对于所有数据,均满足 T = 5 (样例可能不满足)。

n_\mathrm{max} 表示每组数据中 n 的最大值, \sum n 表示所有数据的 n 的和。

测试点 n_\mathrm{max} = \sum n \leq 特殊性质
1 8 5 \ n_\mathrm{max}
2 9
3 10
4 12
5 13
6 14
7 16
8
9 17
10 18
11
12 122 700 \forall i \enspace q_i = i
13 144
14 166
15 200
16 233
17 777 4000 \forall i \enspace q_i = i
18 888
19 933
20 1000
21 266666 2000000 \forall i \enspace q_i = i
22 333333
23 444444
24 555555
25 600000

「提示」

下面是对交换次数下界是 \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert 的证明。

排序本质上就是数字的移动,因此排序的交换次数应当可以用数字移动的总距离来描述。对于第 i 个位置,假设在初始排列中,这个位置上的数字是 pi,那么我们需要将这个数字移动到第 p_i 个位置上,移动的距离是 \lvert i - p_i \rvert 。从而移动的总距离就是 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert ,而冒泡排序每次会交换两个相邻的数字,每次交换可以使移动的总距离至多减少 2 。因此 \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert 是冒泡排序的交换次数的下界。

并不是所有的排列都达到了下界,比如在 n = 3 的时候,考虑排列 3 \ 2 \ 1 ,这个排列进行冒泡排序以后的交换次数是 3 ,但是 \frac 1 2 \sum_{i=1}^n \lvert i - p_i \rvert 只有 2