#2552. 「CTSC2018」假面

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题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: luyanaa

题目描述

针针是绿绿的好朋友。

针针喜欢玩一款叫做 DotA (Defense of the Algorithm) 的游戏,在这个游戏中,针针会操纵自己的英雄与队友一起对抗另一支队伍。
针针在 DotA 中最喜欢使用的英雄叫做假面(Faceless),该英雄有 22 个技能:

  • 锁定:对一名指定的敌方单位使用,以 pp 的概率对该单位造成 11 点伤害(使其减少 11 点生命值)。
  • 结界:在一片区域施放结界,让该区域内的所有其他单位无法动弹。
    在游戏中,如果一个单位的生命值降至 0000 以下,那么该单位就会死亡。
    针针操纵假面的水平一般,因此他决定勤加练习。现在有 nn 个敌方单位(编号从 11nn),编号为 ii 的敌方单位有 hih_i 点生命值。

针针已经安排好了练习的计划,他会按顺序施放 QQ 个技能:

  • 对于锁定技能:针针会指定一个敌方单位 idid ,并对它施放。由于决定概率系数 pp 的因素很多,因此每次的 pp 都不一定相同。
    • 特别地,如果该敌方单位已经死亡,那么该技能不会造成任何效果。
  • 对于结界技能:针针会希望对 kk 个指定的敌方单位施放,但由于针针并不擅长施放该技能,因此他只能命中恰好 11 个敌方单位。命中每个存活的敌方单位的概率是相等的(也就是说已经死亡的敌方单位不会有任何影响)。
    • 特别地,如果这 kk 个敌方单位均已死亡,那么该技能同样不会命中任何敌方单位。

现在,围观针针进行练习的绿绿想知道:

  1. 对于针针施放的每个结界技能,它命中各敌人的概率分别是多少。
  2. 在针针的所有技能施放完毕后,所有敌方单位剩余生命值的期望分别是多少。

由于绿绿还要围观针针训练,所以请你帮他解决这两个问题。
为了防止精度误差,对于所有需要输出的数值,请输出其在模 998244353998244353 意义下的值。
由于结界为假面的终极技能,因此针针施放该技能的次数不会太多。具体请见「子任务」。

输入格式

11 行为 11 个正整数 nn ,表示敌方单位的数量。
22 行为 nn 个正整数 m1,,mnm_1, \dots ,m_n ,依次表示各敌方单位的初始生命值。
33 行为 11 个非负整数 QQ ,表示针针施放技能的数量。
44 行至第 Q+3Q + 3 行,每行描述一个技能,第 i+3i + 3 行描述第 ii 个技能。

  • 每行的开头为一个整数 opop ,表示该技能的种类。
  • 如果 op=0op = 0 ,则表示锁定技能。并在此后跟随着 33 个正整数 id,u,vid , u , v ,表示技能施放的目标为 idid ,技能命中的概率为 p=uvp = \frac{u}{v} 。(保证 1idn,0<uv<9982443531\le id \le n , 0 < u \le v < 998244353
  • 如果 op=1op = 1 ,则表示结界技能。并在此后跟随着 11 个正整数 kk 表示技能施放的目标数量,随后还有额外的 kk 个数 id1,,idkid_1, \dots , id_k 描述技能施放的所有目 标。(保证所有 1idin1 \le id_i \le n 互不相同) 对于每一行,如果行内包含多个数,则用单个空格将它们隔开。

输出格式

输出包括 C+1C + 1 行(其中 CC 为结界技能的数量):

  • CC 行依次对应每个结界技能,对于每行:
    • 输出 kk 个数,第 ii 个数表示结界命中敌方单位 idiid_i 的概率。
  • C+1C + 1 行输出 nn 个数,第 ii 个数表示在所有技能施放完毕后,敌方单位 ii 剩余生命值的期望值。

对于每一行,如果行内包含多个数,则用单个空格将它们隔开。
对于所有数值,请输出它们对 998244353998244353 取模的结果:即设答案化为最简分式后的形式为 ab\frac{a}{b} ,其中 aabb 的互质。输出整数 xx 使得 bxamod998244353bx \equiv a \bmod 9982443530x<9982443530 \le x < 998244353 。(可以证明这样的整数 xx 是唯一的)

样例

样例输入 1

3
1 2 3
6
0 2 1 1
1 1 2
0 2 1 1
0 3 1 1
1 1 2
1 3 1 2 3

样例输出 1

1
0
499122177 0 499122177
1 0 2

样例解释 1

针针按顺序施放如下技能:

  1. 对敌方单位 22 施放技能锁定:以 11 的概率对其造成 11 点伤害。
    • 此时 22 号敌方单位必定剩余 11 点生命值。
  2. 对敌方单位 22 施放技能结界:(由于 22 号敌方单位尚存活,)必定命中 22 号单位。
  3. 对敌方单位 22 施放技能锁定:以 11 的概率对其造成 11 点伤害。
  4. 对敌方单位 33 施放技能锁定:以1 的概率对其造成 11 点伤害。
    • 此时三个敌方单位的生命值一定分别为 1,0,21, 0 ,2 ,敌方单位 22 一定死亡。
  5. 对敌方单位 22 施放技能结界:(由于 22 号敌方单位已死亡,)必定不命中任何单位。
  6. 对敌方单位 1,2,31, 2, 3 施放技能结界:命中敌方单位 1,31, 3 的概率是相等的,即各 12\frac{1}{2} 。 最终,三个敌方单位的剩余生命值一定为 1,0,21 , 0 , 2

样例输入 2

3
1 1 1
4
0 2 1 2
1 2 1 2
0 3 2 3
1 3 1 2 3

样例输出 2

249561089 748683265
804141285 887328314 305019108
1 499122177 332748118

样例解释 2

对于各结界技能的分析:

  1. 11 个结界(目标为敌方单位 1,21, 2 ):
    • 22 号敌方单位存活的概率为 12\frac{1}{2}11 号敌方单位必定存活。
    • 如果 22 号敌方单位存活,那么结界命中 1,21 , 2 的概率相等,均为 12\frac{1}{2} ;如果 22 号敌方单位死亡,那么结界必定命中 11 号敌方单位。
    • 因此:命中 11 号敌方单位的概率为 12×1+12×12=34 \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} ;命中 22 号敌方单位的概率为 12×0+12×12=14 \frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
  2. 22 个结界(目标为敌方单位 1,2,31, 2, 3 ):
    • 三个敌方单位存活的概率分别为 1,12,131, \frac{1}{2} , \frac{1}{3}
    • 1,2,31 , 2 , 3 同时存活的概率为 16\frac{1}{6} ;只有 1,21, 2 存活的概率为 13\frac{1}{3} ;只有 1,31 , 3 存活的概率为 16\frac{1}{6} ;只有 11 存活的概率为 13\frac{1}{3}
    • 因此:命中 11 号敌方单位的概率为 16×13+(13+16)×12+13×1=2336\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{6}) \times \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} \times 1 = \frac{23}{36} ;命中 22 号敌方单位的概率为 16×13+13×12=29\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9} ;命中 33 号敌方单位的概率为 16×13+16×12=536\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{36} 。 最终,三个敌方单位的剩余生命值的期望值为 1,12,131 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3}

样例 3 & 样例 4

见附加文件。

数据范围与提示

数据范围

我们记 CC 为结界技能的数量。

n=n= Q=Q= C=C= 测试点编号 u,vu,v 其他限制
55 2121 66 1 u<vu<v
6060 199992199992 500500 2 u<vu<v 所有 pp 均相等
6060 2323 66 3 u<vu<v 所有 mi=1m_i =1
6060 199994199994 500500 4 u<vu<v
6060 199995199995 500500 5 u<vu<v
6060 199996199996 00 6 u<vu<v
6060 199997199997 500500 7 u=vu=v
200200 199998199998 10001000 8 u<vu<v
200200 199999199999 10001000 9 u<vu<v
200200 200000200000 10001000 10 u<vu<v

为了优化你的阅读体验,我们把测试点编号放在了表格的中间,请注意这一点。 对于所有测试点,保证 n200,n \le 200 , Q200000,Q \le 200000 , C1000,C \le 1000 , mi100m_i \le 100

提示

  1. 33 个样例满足测试点 11 的数据规模限制。
  2. 44 个样例满足限制‘‘所有 pp 均相等’’。事实上这个限制并不满足,这是原题面的错误,在此保留原文。
  3. QQ 的个位可以帮助你快速确定测试点的编号。
  4. 测试点顺序可能与难度无关。