#2552. 「CTSC2018」假面

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题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: luyanaa

题目描述

针针是绿绿的好朋友。

针针喜欢玩一款叫做 DotA (Defense of the Algorithm) 的游戏,在这个游戏中,针针会操纵自己的英雄与队友一起对抗另一支队伍。
针针在 DotA 中最喜欢使用的英雄叫做假面(Faceless),该英雄有 222 个技能:

  • 锁定:对一名指定的敌方单位使用,以 ppp 的概率对该单位造成 111 点伤害(使其减少 111 点生命值)。
  • 结界:在一片区域施放结界,让该区域内的所有其他单位无法动弹。
    在游戏中,如果一个单位的生命值降至 000000 以下,那么该单位就会死亡。
    针针操纵假面的水平一般,因此他决定勤加练习。现在有 nnn 个敌方单位(编号从 111nnn),编号为 iii 的敌方单位有 hih_ihi 点生命值。

针针已经安排好了练习的计划,他会按顺序施放 QQQ 个技能:

  • 对于锁定技能:针针会指定一个敌方单位 ididid ,并对它施放。由于决定概率系数 ppp 的因素很多,因此每次的 ppp 都不一定相同。
    • 特别地,如果该敌方单位已经死亡,那么该技能不会造成任何效果。
  • 对于结界技能:针针会希望对 kkk 个指定的敌方单位施放,但由于针针并不擅长施放该技能,因此他只能命中恰好 111 个敌方单位。命中每个存活的敌方单位的概率是相等的(也就是说已经死亡的敌方单位不会有任何影响)。
    • 特别地,如果这 kkk 个敌方单位均已死亡,那么该技能同样不会命中任何敌方单位。

现在,围观针针进行练习的绿绿想知道:

  1. 对于针针施放的每个结界技能,它命中各敌人的概率分别是多少。
  2. 在针针的所有技能施放完毕后,所有敌方单位剩余生命值的期望分别是多少。

由于绿绿还要围观针针训练,所以请你帮他解决这两个问题。
为了防止精度误差,对于所有需要输出的数值,请输出其在模 998244353998244353998244353 意义下的值。
由于结界为假面的终极技能,因此针针施放该技能的次数不会太多。具体请见「子任务」。

输入格式

111 行为 111 个正整数 nnn ,表示敌方单位的数量。
222 行为 nnn 个正整数 m1,…,mnm_1, \dots ,m_nm1,,mn ,依次表示各敌方单位的初始生命值。
333 行为 111 个非负整数 QQQ ,表示针针施放技能的数量。
444 行至第 Q+3Q + 3Q+3 行,每行描述一个技能,第 i+3i + 3i+3 行描述第 iii 个技能。

  • 每行的开头为一个整数 opopop ,表示该技能的种类。
  • 如果 op=0op = 0op=0 ,则表示锁定技能。并在此后跟随着 333 个正整数 id,u,vid , u , vid,u,v ,表示技能施放的目标为 ididid ,技能命中的概率为 p=uvp = \frac{u}{v}p=vu 。(保证 1≤id≤n,0<u≤v<9982443531\le id \le n , 0 < u \le v < 9982443531idn,0<uv<998244353
  • 如果 op=1op = 1op=1 ,则表示结界技能。并在此后跟随着 111 个正整数 kkk 表示技能施放的目标数量,随后还有额外的 kkk 个数 id1,…,idkid_1, \dots , id_kid1,,idk 描述技能施放的所有目 标。(保证所有 1≤idi≤n1 \le id_i \le n1idin 互不相同) 对于每一行,如果行内包含多个数,则用单个空格将它们隔开。

输出格式

输出包括 C+1C + 1C+1 行(其中 CCC 为结界技能的数量):

  • CCC 行依次对应每个结界技能,对于每行:
    • 输出 kkk 个数,第 iii 个数表示结界命中敌方单位 idiid_iidi 的概率。
  • C+1C + 1C+1 行输出 nnn 个数,第 iii 个数表示在所有技能施放完毕后,敌方单位 iii 剩余生命值的期望值。

对于每一行,如果行内包含多个数,则用单个空格将它们隔开。
对于所有数值,请输出它们对 998244353998244353998244353 取模的结果:即设答案化为最简分式后的形式为 ab\frac{a}{b}ba ,其中 aaabbb 的互质。输出整数 xxx 使得 bx≡a mod 998244353bx \equiv a \bmod 998244353bxamod9982443530≤x<9982443530 \le x < 9982443530x<998244353 。(可以证明这样的整数 xxx 是唯一的)

样例

样例输入 1

3
1 2 3
6
0 2 1 1
1 1 2
0 2 1 1
0 3 1 1
1 1 2
1 3 1 2 3

样例输出 1

1
0
499122177 0 499122177
1 0 2

样例解释 1

针针按顺序施放如下技能:

  1. 对敌方单位 222 施放技能锁定:以 111 的概率对其造成 111 点伤害。
    • 此时 222 号敌方单位必定剩余 111 点生命值。
  2. 对敌方单位 222 施放技能结界:(由于 222 号敌方单位尚存活,)必定命中 222 号单位。
  3. 对敌方单位 222 施放技能锁定:以 111 的概率对其造成 111 点伤害。
  4. 对敌方单位 333 施放技能锁定:以1 的概率对其造成 111 点伤害。
    • 此时三个敌方单位的生命值一定分别为 1,0,21, 0 ,21,0,2 ,敌方单位 222 一定死亡。
  5. 对敌方单位 222 施放技能结界:(由于 222 号敌方单位已死亡,)必定不命中任何单位。
  6. 对敌方单位 1,2,31, 2, 31,2,3 施放技能结界:命中敌方单位 1,31, 31,3 的概率是相等的,即各 12\frac{1}{2}21 。 最终,三个敌方单位的剩余生命值一定为 1,0,21 , 0 , 21,0,2

样例输入 2

3
1 1 1
4
0 2 1 2
1 2 1 2
0 3 2 3
1 3 1 2 3

样例输出 2

249561089 748683265
804141285 887328314 305019108
1 499122177 332748118

样例解释 2

对于各结界技能的分析:

  1. 111 个结界(目标为敌方单位 1,21, 21,2 ):
    • 222 号敌方单位存活的概率为 12\frac{1}{2}21111 号敌方单位必定存活。
    • 如果 222 号敌方单位存活,那么结界命中 1,21 , 21,2 的概率相等,均为 12\frac{1}{2}21 ;如果 222 号敌方单位死亡,那么结界必定命中 111 号敌方单位。
    • 因此:命中 111 号敌方单位的概率为 12×1+12×12=34 \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}21×1+21×21=43 ;命中 222 号敌方单位的概率为 12×0+12×12=14 \frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}21×0+21×21=41
  2. 222 个结界(目标为敌方单位 1,2,31, 2, 31,2,3 ):
    • 三个敌方单位存活的概率分别为 1,12,131, \frac{1}{2} , \frac{1}{3}1,21,31
    • 1,2,31 , 2 , 31,2,3 同时存活的概率为 16\frac{1}{6}61 ;只有 1,21, 21,2 存活的概率为 13\frac{1}{3}31 ;只有 1,31 , 31,3 存活的概率为 16\frac{1}{6}61 ;只有 111 存活的概率为 13\frac{1}{3}31
    • 因此:命中 111 号敌方单位的概率为 16×13+(13+16)×12+13×1=2336\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{6}) \times \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} \times 1 = \frac{23}{36}61×31+(31+61)×21+31×1=3623 ;命中 222 号敌方单位的概率为 16×13+13×12=29\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}61×31+31×21=92 ;命中 333 号敌方单位的概率为 16×13+16×12=536\frac{1}{6} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{36}61×31+61×21=365 。 最终,三个敌方单位的剩余生命值的期望值为 1,12,131 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3}1,21,31

样例 3 & 样例 4

见附加文件。

数据范围与提示

数据范围

我们记 CCC 为结界技能的数量。

n=n=n= Q=Q=Q= C=C=C= 测试点编号 u,vu,vu,v 其他限制
555 212121 666 1 u<vu<vu<v
606060 199992199992199992 500500500 2 u<vu<vu<v 所有 ppp 均相等
606060 232323 666 3 u<vu<vu<v 所有 mi=1m_i =1mi=1
606060 199994199994199994 500500500 4 u<vu<vu<v
606060 199995199995199995 500500500 5 u<vu<vu<v
606060 199996199996199996 000 6 u<vu<vu<v
606060 199997199997199997 500500500 7 u=vu=vu=v
200200200 199998199998199998 100010001000 8 u<vu<vu<v
200200200 199999199999199999 100010001000 9 u<vu<vu<v
200200200 200000200000200000 100010001000 10 u<vu<vu<v

为了优化你的阅读体验,我们把测试点编号放在了表格的中间,请注意这一点。 对于所有测试点,保证 n≤200,n \le 200 ,n200, Q≤200000,Q \le 200000 ,Q200000, C≤1000,C \le 1000 ,C1000, mi≤100m_i \le 100mi100

提示

  1. 333 个样例满足测试点 111 的数据规模限制。
  2. 444 个样例满足限制‘‘所有 ppp 均相等’’。事实上这个限制并不满足,这是原题面的错误,在此保留原文。
  3. QQQ 的个位可以帮助你快速确定测试点的编号。
  4. 测试点顺序可能与难度无关。