#2325. 「清华集训 2017」小 Y 和恐怖的奴隶主

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题目类型:传统 评测方式:文本比较
上传者: samzhang

题目描述

"A fight? Count me in!" 要打架了,算我一个。

"Everyone, get in here!" 所有人,都过来!

小 Y 是一个喜欢玩游戏的 OIer。一天,她正在玩一款游戏,要打一个 Boss。

虽然这个 Boss 有 10^{100} 点生命值,但它只带了一个随从——一个只有 m 点生命值的「恐怖的奴隶主」。

这个「恐怖的奴隶主」有一个特殊的技能:每当它被扣减生命值但没有死亡(死亡即生命值 \leq 0 ),且 Boss 的随从数量小于上限 k ,便会召唤一个新的具有 m 点生命值的「恐怖的奴隶主」。

现在小 Y 可以进行 n 次攻击,每次攻击时,会从 Boss 以及 Boss 的所有随从中的等概率随机选择一个,并扣减 1 点生命值,她想知道进行 n 次攻击后扣减 Boss 的生命值点数的期望。为了避免精度误差,你的答案需要对 998244353 取模。

输入格式

输入第一行包含三个正整数 T, m, k T 表示询问组数, m, k 的含义见题目描述。

接下来 T 行,每行包含一个正整数 n ,表示询问进行 n 次攻击后扣减 Boss 的生命值点数的期望。

输出格式

输出共 T 行,对于每个询问输出一行一个非负整数,表示该询问的答案对 998244353 取模的结果。

可以证明,所求期望一定是一个有理数,设其为 {p \over q} \gcd(p,q) = 1 ),那么你输出的数 x 要满足 p \equiv qx \pmod{998244353}

样例

样例 1

输入

3 2 6
1
2
3

输出

499122177
415935148
471393168

样例 1 解释

对于第一次询问,第一次攻击有 \frac{1}{2} 的概率扣减 Boss 的生命值,有 \frac{1}{2} 的概率扣减随从的生命值,所以答案为 \frac{1}{2} 1 \equiv 2 \times 499122177 \pmod{998244353}

对于第二次询问,如果第一次攻击扣减了 Boss 的生命值,那么有 \frac{1}{2} 的概率第二次攻击仍扣减 Boss 的生命值,有 \frac{1}{2} 的概率第二次攻击扣减随从的生命值;如果第一次攻击扣减了随从的生命值,那么现在又新召唤了一个随从(「恐怖的奴隶主」),于是有 \frac{1}{3} 的概率第二次攻击扣减 Boss 的生命值,有 \frac{2}{3} 的概率第二次攻击扣减随从的生命值。所以答案为 \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times2+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times1+\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times0 = \frac{11}{12} 11 \equiv 12 \times 415935148\pmod{998244353}

样例 2

见附加文件下的 ex_2.inex_2.ans

该组样例的数据范围(除询问组数 T 外)同第 7、8 个测试点。

数据范围与提示

在所有测试点中, 1 \leq T \leq 1000, 1 \leq n \leq {10}^{18}, 1 \leq m \leq 3, 1 \leq k \leq 8

各个测试点的分值和数据范围如下:

测试点编号 分值 T= n\leq m= k=
1 3 10 10 1
2 8 2 8
3 7 {10}^{18} 3
4 12 7
5 30 20 3 5
6 10 500 6
7 200 7
8 5 1000
9 10 100 8
10 5 500