#2263. 「CTSC2017」游戏

内存限制:512 MiB 时间限制:1000 ms 标准输入输出
题目类型:传统 评测方式:Special Judge
上传者: 匿名

题目描述

小 R 和室友小 B 在寝室里玩游戏。他们一共玩了 n 局游戏,每局游戏的结果要么是小 R 获胜,要么是小 B 获胜。
1 局游戏小 R 获胜的概率是 p_1 ,小 B 获胜的概率是 1 - p_1 。除了第一局游戏之外,每一局游戏小 R 获胜的概率与上一局游戏小 R 是否获胜有关。

具体来说:

  1. 如果第 i − 1 (1 < i \leq n) 局游戏小 R 获胜,那么第 i 局游戏小 R 获胜的概率为 p_i ,小 B 获胜的概率为 1 - p_i
  2. 如果第 i − 1 (1 < i \leq n) 局游戏小 B 获胜,那么第 i 局游戏小 R 获胜的概率为 q_i ,小 B 获胜的概率为 1 - q_i

小 D 时常过来看小 R 和小 B 玩游戏,因此他知道某几局游戏的结果。他想知道在他已知信息的条件下,小 R 在 n 局游戏中总共获胜的局数的期望是多少。

小 D 记性不太好,有时他会回忆起某局游戏的结果,并把它加入到已知信息中;有时他会忘记之前某局游戏结果,并把它从已知信息中删除。你的任务是:每当小 D 在已知信息中增加或删除一条信息时,根据小 D 记得的已知信息,帮助小 D 计算小 R 在 n 局游戏中总共获胜局数的期望是多少。

需要注意的是:如果小 D 忘了一局游戏的结果,之后又重新记起,两次记忆中的游戏结果不一定是相同的。你不需要关心小 D 的记忆是否与实际情况相符,你只需要根据他的记忆计算相应的答案。

输入格式

第一行两个正整数 n, m 和一个字符串 \text{type} 。表示小 R 和小 B 一共玩了 n 局游戏,小 D 一共进行了 m 次修改已知信息的操作,该数据的类型为 \text{type} \text{type} 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分,你可能不需要用到这个输入,其具体含义见「数据范围与提示」中的「限制与约定」。

接下来 n 行,第一行包含一个实数 p_1 ,表示第一局比赛小 R 获胜的概率是 p_1 。第 i (1 < i \leq n) 行包含两个实数 pi_i, q_i 。表示在第 i − 1 局游戏小 R 获胜的情况下,第 i 局游戏小 R 获胜的概率是 p_i q_i 表示在第 i − 1 局游戏小 B 获胜的情况下,第 i 局游戏小 R 获胜的概率是 q_i

接下来 m 行,每行描述一个小 D 已知信息的变化,操作分为两类。

  1. add i c 表示小 D 回忆起了第 i 局比赛的结果,并把它加入到已知信息中。若 c = 0 表示第 i 局比赛小 B 获胜,若 c = 1 表示第 i 局比赛小 R 获胜。数据保证 i, c 均为整数且 1 \leq i \leq n, 0 \leq c \leq 1 ,如果这个操作不是第一个操作,保证在上一个操作结束后的已知信息中没有第 i 局比赛的结果。
  2. del i 表示小 D 忘记了第 i 局比赛的结果,并把它从已知信息中删除。数据保证 i 是整数且 1 \leq i \leq n ,保证在上一个操作结束后的已知信息中有第 i 局比赛的结果。

输出格式

对于每个操作,输出一行实数,表示操作结束后,在当前已知信息的条件下,小 R 在 n 局游戏中总共获胜的局数的期望是多少。

样例

样例输入

3 3 A
0.3
0.5 0.2
0.9 0.8
add 1 1
add 3 0
del 1

样例输出

2.350000
1.333333
0.432749

样例解释

运用贝叶斯公式

第一问:

\begin{aligned} p(x_2 = 1|x_1 = 1) &= 0.5 \\ p(x_3 = 1|x_1 = 1) &= 0.5 \times 0.9 + 0.5 \times 0.8 = 0.85 \\ E(x_1 +x_2 +x_3 |x_1 = 1) &= 0.5 + 0.85 + 1 = 2.35 \end{aligned}

第二问:

\begin{aligned} p(x_2 = 1|x_1 = 1, x_3 = 0) &= \frac{p(x_3 =0|x_1=1,x_2=1)p(x_2 = 1|x_1 =1)}{p(x_3 =0|x_1 =1)} \approx 0.333 \\ E(x_1 + x_2 + x_3|x_1 =1, x_3 = 0) &\approx 1.333 \end{aligned}

第三问:

对于

p(x_2 = 1|x_3 = 0) = \frac{p(x_3 = 0|x_2 = 1)p(x_2 = 1)}{p(x_3 = 0)}

其中

\begin{aligned} p(x_3 = 0|x_2 = 1) &= 0.1 \\ p(x_2 = 1) &= 0.3 \times 0.5 + 0.7 \times 0.2 = 0.29 \\ p(x_3 = 0) &= 0.29 \times 0.1 + 0.71 \times 0.2 = 0.171 \end{aligned}

所以

p(x_2 = 1|x_3 = 0) = 0.1 \times 0.29/0.171 \approx 0.16959

对于

p(x_1 = 1|x_3 = 0) = \frac{p(x_3 =0|x_1=1)p(x_1=1)}{p(x_3 =0)}

其中

\begin{aligned} p(x_3 = 0|x_1 = 1) &= 0.5 \times 0.1 + 0.5 \times 0.2 = 0.15 \\ p(x_1 = 1) &= 0.3 \\ p(x_3 = 0) &= 0.171 \end{aligned}

所以

\begin{aligned} p(x_1 = 1|x_3 = 0) &= 0.15 \times 0.3/0.171 \approx 0.26316 \\ E(x_1 + x_2 + x_3|x_3 = 0) &\approx 0.43275 \end{aligned}

数据范围与提示

评分标准

如果你的答案与正确答案的绝对误差在 10 ^ {−4} 以内,则被判定为正确。
如果你的所有答案均为正确,则得满分,否则得 0 分。

请注意输出格式:每行输出一个答案,答案只能为一个实数。每行的长度不得超过 50。错误输出格式会被判定为 0 分。

限制与约定

对于 100\% 的数据, 1 \leq n \leq 200000, 1 \leq m \leq 200000, 0 < pi, qi < 1
对于 100\% 的数据,输入保留最多四位小数。

本题共有 20 个数据点,每个数据点 5 分,每个测试点的具体约定如下表:

测试点 n m 数据类型
1 ~ 2 \leq 10 \leq 20 A
3 ~ 4 \leq 100 B
5 ~ 6 \leq 1000 \leq 5000 A
7 ~ 9 \leq 2000 B
10 ~ 13 \leq 10000 \leq 200000
14 ~ 15 \leq 200000 C
16 ~ 17 D
18 ~ 20 A

数据类型的含义:

  • A:无限制
  • B: \forall i > 1, |pi − qi| > 0.999
  • C:同一时刻,小 D 最多只有 1 条已知信息
  • D:同一时刻,小 D 最多只有 5 条已知信息

小 R 教你学数学

可能会用到以下公式

  1. 条件概率的计算方法
    我们记 p(A|B) 表示在已知事件 B 发生时事件 A 发生的概率,条件概率可以用以下公式计算:

p(A|B) = \frac{p(AB)}{p(B)}

其中 p(AB) 表示事件 B 和事件 A 同时发生的概率, p(B) 表示事件 B 发生的概率。

  1. 贝叶斯公式(bayes)
    由条件概率的计算方法,我们容易得到贝叶斯公式:

p(A|B) = \frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}

  1. 全概率公式
    如果随机变量 x k 个取值,分别为 x_1, x_2, \ldots, x_k 那么

p(A) = \sum\limits_{i = 1} ^ k p(A|x = x_i) p(x = x_i)

温馨提示

在本题中,如果你希望获得全部的分数,你可能需要考虑由于浮点数运算引入的误差。只使用加法和乘法运算不会引入太大的误差,但请谨慎使用减法和除法。

  1. 两个大小相近的数相减可以引入非常大的相对误差。
  2. 如果一个矩阵的行列式值非常小,那么求解该矩阵的逆可以带来相当大的误差。

当然,如果你的算法在数学上是正确的,但没有考虑浮点数运算的误差问题,可能仍然可以获得一部分的分数。