#2132. 「NOI2015」荷马史诗

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题目类型:传统 评测方式:Special Judge
上传者: 匿名

题目描述

追逐影子的人,自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后,细细地品上一杯卡布奇诺,静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了,Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词,从 1 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 w_i 。Allison 想要用 k 进制串 s_i 来替换第 i 种单词,使得其满足如下要求: 对于任意的 1 \leq i,j \leq n, \ i \neq j ,都有: s_i 不是 s_j 的前缀。

现在 Allison 想要知道,如何选择 s_i ,才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下,Allison 还想知道最长的 s_i 的最短长度是多少?

一些定义:

一个字符串被称为 k 进制字符串,当且仅当它的每个字符是 0 k−1 之间(包括 0 k−1 )的整数。

字符串 \text{Str}_1 被称为字符串 \text{Str}_2 的前缀,当且仅当:存在 1 \leq t \leq m ,使得 \text{Str}_1=\text{Str}_2[1 \ldots t] 。其中, m 是字符串 \text{Str}_2 的长度, \text{Str}_2[1 \ldots t] 表示 \text{Str}_2 的前 t 个字符组成的字符串。

输入格式

输入文件的第一行包含两个正整数 n,k ,中间用单个空格隔开,表示共有 n 种单词,需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行,第 i+1 行包含 1 个非负整数 w_i ,表示第 i 种单词的出现次数。

输出格式

输出文件包括两行。

第一行输出一个整数,为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第二行输出一个整数,为保证最短总长度的情况下,最长字符串 s_i 的最短长度。

样例

样例输入 1

4 2
1
1
2
2

样例输出 1

12
2

样例解释 1

X_{(k)} 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案:令 00_{(2)} 替换第一种单词, 01_{(2)} 替换第二种单词, 10_{(2)} 替换第三种单词, 11_{(2)} 替换第四种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为: 1 \times 2+1 \times 2+2 \times 2+2 \times 2=12 ,最长字符串 s_i 的长度为 2

一种非最优方案:令 000_{(2)} 替换第一种单词, 001_{(2)} 替换第二种单词, 01_{(2)} 替换第三种单词, 1_{(2)} 替换第四种单词。在这种方案下,编码以后的最短长度为: 1 \times 3+1 \times 3+2 \times 2+2 \times 1=12 ,最长字符串 s_i 的长度为 3 。与最优方案相比,文章的长度相同,但是最长字符串的长度更长一些。

样例输入 2

6 3
1
1
3
3
9
9

样例输出 2

36
3

样例解释 2

一种最优方案:令 000_{(3)} 替换第 1 种单词, 001_{(3)} 替换第 2 种单词, 01_{(3)} 替换第 3 种单词, 02_{(3)} 替换第 4 种单词, 1_{(3)} 替换第 5 种单词, 2_{(3)} 替换第 6 种单词。

数据范围与提示

限制与约定

Case # n 的规模 k 的规模 附加限制
1 n = 3 k = 2 -
2 n = 5
3 n = 16 所有 w_i 均相等
4 n = 1000 w_i 在取值范围内均匀随机
5 -
6 n = 100000
7 所有 w_i 均相等
8 -
9 n = 7 k = 3
10 n = 16 所有 w_i 均相等
11 n = 1001
12 n = 99999 k = 4
13 n = 100000 -
14
15 n = 1000 k = 5
16 n = 100000 k = 7 w_i 在取值范围内均匀随机
17 -
18 k = 8 w_i 在取值范围内均匀随机
19 k = 9 -
20

对于所有数据,保证 2 \leq n \leq 100000, \ 2 \leq k \leq 9, \ 0 \lt w_i \leq 10^{11} 。选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

评分方式

对于每个测试点:
若输出文件的第 1 行正确,得到该测试点 40\% 的分数;
若输出文件完全正确,得到该测试点 100\% 的分数。