#2112. 「HNOI2015」亚瑟王

内存限制:256 MiB 时间限制:1000 ms 标准输入输出
题目类型:传统 评测方式:Special Judge
上传者: 匿名

题目描述

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码,连 Spaly 都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。

玩家有一套卡牌,共 nn 张。游戏时,玩家将 nn 张卡牌排列成某种顺序,排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1n1 \sim n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。

每张卡牌都有一个技能。第 ii 张卡牌的技能发动概率为 pip_i,如果成功发动,则会对敌方造成 did_i 点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小 K 非洲血统的考虑,pip_i 不会为 0,也不会为 1,即 0<pi<10 < p_i < 1

一局游戏一共有 rr 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌:

  1. 如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则
    1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 否则(是最后一张),结束这一轮游戏。
  2. 否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 ii 张。
    2.1 将其以 pip_i 的概率发动技能。
    2.2 如果技能发动,则对敌方造成 did_i点伤害,并结束这一轮。
    2.3 如果这张卡牌已经是最后一张(即 ii 等于 nn),则结束这一轮;否则,考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 TT,代表测试数据组数。
接下来一共 TT 组数据。
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 nnrr,分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。
接下来 nn 行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第 ii 行的两个数为 pip_idid_i,分别代表第 ii 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动造成的伤害(整数)。保证 pip_i 最多包含四位小数,且为一个合法的概率。

输出格式

对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。

对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过 10810^{-8} 时——即 aoa108\frac{|a-o|}{a} \leq 10^{-8} 时 (其中 aa 是标准答案,oo 是输出),你的输出才会被判为正确。建议输出十位小数。

样例

样例输入

1 
3 2 
0.5000 2 
0.3000 3 
0.9000 1

样例输出

3.2660250000

样例解释

一共有 1313 种可能的情况:

  1. 第一轮中,第 11 张卡牌发动技能;第二轮中,第 22 张卡牌发动技能;概率为 0.150.15,伤害为 55
  2. 第一轮中,第 11 张卡牌发动技能;第二轮中,第 33 张卡牌发动技能;概率为 0.3150.315,伤害为 33
  3. 第一轮中,第 11 张卡牌发动技能;第二轮不发动技能;概率为 0.0350.035,伤害为 22
  4. 第一轮中,第 22 张卡牌发动技能;第二轮中,第 11 张卡牌发动技能;概率为 0.0750.075,伤害为 55
  5. 第一轮中,第 22 张卡牌发动技能;第二轮中,第 33 张卡牌发动技能;概率为 0.06750.0675,伤害为 44
  6. 第一轮中,第 22 张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 概率为 0.00750.0075,伤害为 33
  7. 第一轮中,第 33 张卡牌发动技能;第二轮中,第 11 张卡牌发动技能;概率为 0.15750.1575,伤害为 33
  8. 第一轮中,第 33 张卡牌发动技能;第二轮中,第 22 张卡牌发动技能;概率为 0.047250.04725,伤害为 44
  9. 第一轮中,第 33 张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 概率为 0.110250.11025,伤害为 11
  10. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 11 张卡牌发动技能; 概率为 0.01750.0175,伤害为 22
  11. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 22 张卡牌发动技能; 概率为 0.005250.00525,伤害为 33
  12. 第一轮不发动技能;第二轮中,第 33 张卡牌发动技能; 概率为 0.0110250.011025,伤害为 11
  13. 第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 概率为 0.0012250.001225,伤害为 00

造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.2660253.266025

数据范围与提示

对于所有测试数据, 1T444, 1n220, 0r132, 0<pi<1, 0di10001 \leq T \leq 444, \ 1 \leq n \leq 220, \ 0 \leq r \leq 132, \ 0 < p_i < 1, \ 0 \leq d_i \leq 1000

除非备注中有特殊说明,数据中 pip_idid_i 均为随机生成。

请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。